Расчетно-экспериментальное определение критической скорости веретен кольцепрядильных машин

АННОТАЦИЯ

В статье изложен весьма остроумный метод академика А.Н.Крылова для решения системы дифференциальных уравнений в частных производных при исследовании колебания упругих систем и математический прием Эйлера для решения дифференциальных уравнений в частных производных, приведен примерный расчет и применение обоих методов к исследованию вибрации веретен.

ABSTRACT

The article outlines a very witty method by Academician A.N.Krylov for solving a system of partial differential equations in the study of oscillations of elastic systems and Euler's mathematical method for solving partial differential equations, provides an approximate calculation and application of both methods to study spindle vibration.

Ключевые слова: веретено, шпиндель, колебания, прядение.

Keywords: spindle, spindle, oscillations, spinning.

Введение

Высшие критические скорости приближенными методами не определялись, поэтому надо хотя бы  вкратце изложить другие, более точные и более общие методы определения частот собственных колебаний веретен.

Мы изложим здесь весьма остроумный метод академика А. Н. Крылова для решения системы дифференциальных уравнений в частных производных при исследовании колебания упругих систем и математический прием Эйлера для решения дифференциальных уравнений в частных производных, причем покажем применение обоих методов к исследованию вибрации веретен.

Рассмотрим, несколько характерных для веретен случаев.

Рассмотрим колебания шпинделя, имеющего цилиндрическуюформу, защемленного в одном конце, если другой конец свободен. Ни катушки, ни пряжи на шпинделе нет.

По формулам сопротивления материалов можно написать:

                                                                              (1)

где у" изображает вторую производную стрелы прогиба по абсциссе.

Четвертая производная дает интенсивность нагрузки, или нагрузку q, приходящуюся на погонную единицу длины шпинделя:

                                                                                  (2)

С другой стороны, при колебательном движении шпинделя, нагрузку на единицу длины его можно выразить через силу инерции массы, заключающейся в отрезке длиной 1 см. Получается равенство:

где т₁ — единичная масса;

у — вторая производная стрелы прогиба    п  времен и.

Единичную массу можно представить через площадь сечения шпинделя, F— удельный вес материала  и ускорение силы тяжести g:

В таком случае по Даламберу

                                                                        (3)

Для цилиндрического шпинделя F=const и I = const.,  следовательно,

Для интегрирования уравнения   по методу Эйлера полагают:

где  - функция, зависящая только от х, но не зависящая от вре­мени, а Ф, наоборот, зависит только от времени и не зависит от х.

Тогда из уравнения получается уравнение

                                                                        (4)

которое распадается на два начальная  и 

и или 

где

Уравнение имеет общий интеграл:

                                                             (5)

После определения произвольных постоянных L₁и: уравнение приводится к виду уравнения гармонического колебания

где Фо — амплитуда.

Однако константа к₀ остается еще неизвестной, так как она связана не только условием. Если константа к₀ будет определена, то найдется основная частота собственных колебаний и критическое число оборотов в минуту:

Уравнение решается различными способами. Например, в круговых и гиперболических функциях общий интеграл его имеет

                                       (6)

Здесь – А, В, С и D — произвольные постоянные;

Cosрх и sinрх — круговые функции;

Chрх и shрх — гиперболические косинус и синус.

Уравнение позволяет определять частоты собственных колебаний шпинделя, почему оно и носит название уравнения частот.  Для решения его нужно найти такие значения аргумента р1, при которых произведение  равно отрицательной единице, что, очевидно, возможно лишь при отрицательных значениях /СОS/;. Решения можно без труда подобрать при помощи таблиц круговых и гиперболических функций. Можно искать решения и графическим методом, для чего необходимо выстроить по точкам две кривые:

                                                           (9)

Точкам пересечения кривых соответствуют значения р1. при которых уравнение удовлетворяется. На рис. 1. показано такое решение.

Рисунок 1.Графическое решение уравнения частот

Таким образом, определились условия, которым должны удовлетворять частоты собственных колебаний шпинделя. Для основной частоты 1 =1,875; для второй = 4,694; для третьей =7,855.

Выше уже было найдено, что

Пользуясь соотношениями легко найти:

Принимая для стальных шпинделей

где

и

получаем

где

.

Формулу можно использовать при расчете колебаний ци­линдрических шпинделей, у которых основание можно считать защемленным.

Если шпиндель вращается в длинном подшипнике, то его можно считать зажатым по большому основанию. В этом случае, для определения первой критической скорости, можно применить формулу Мононба для схем показанных на (рис. 2):

                                                                      ( 2.15)

где:

l— высота усеченного конуса;

J — экваториальный момент инерции поперечного сечения наибольшего основания конуса;

Е —модуль упругости;

b — расстояние консольной части шпинделя.

m_np— приведенная масса к концу веретен.

Рассмотрим предложенный нами приближенный метод определения первой критической скорости шпинделей кольцепрядильных и кольцекрутильных веретен (рис.2.).

Рисунок 2. Расчетная схема шпинделя веретен

Значения величин, входящих в формулу, ясны из рис.2. При методе Рейлея, формула для определения т_пр получилась бы несколько иной. Критическую скорость шпинделя веретена можно определить по формуле.

Для определения критической скорости шпинделя веретена, показанной на рис. 2, измеряем размеры шпинделя, а плотности и МОДУЛЬ упругости материала =2800кг/,E= 0,7.

По формуле определяем приведенную массу

; ; ;

Определяем критическую скорость шпинделя веретена по формуле:

; ; :

По расчетам первая критическая скорость данного ве­ретена около 610 рад/сек; согласно опытным данным, первая критическая скорость этих веретен находится в пределах 575—622 рад/сек. Рабочая же скорость этих веретен 1000—1200 рад/сек.

Экспериментальная часть

Изучению динамики веретен посвящены многие работы \1.2.3.\, в которых приведены  теоретические и экспериментальные  исследования  веретен разных типов и типоразмеров. Но ни водной работе не приводятся данные о экспериментальных исследованиях сверхвысоких критических скоростей веретен прядильных машин. Также не имеется данных о методике измерения параметров динамических показателей веретен прядильных машин, также следует отметить что точности измерений на позволяли проведения таких исследований. На основании анализа проведенных исследований существующих методов измерения, перед нами встала задача  разработки методики и стенда для исследований динамики веретен, на высоких скоростях.

Для исследования динамических характеристик веретен нами была разработана и изготовлена  экспериментальная установка с лазерными датчиками контроля амплитуды и частоты  вращения веретен.

На рис 3. показан обшей вид и схема экспериментальной установки для исследования вибрации веретен прядильных машин. На брусе 1 установлен управляемый электродвигатель 2, частоту, вращения которою регулируют латором тока 7, и частота которого фиксируется на шкале 8.

На двигателе установлен шкив 3 ,от которого посредством тесемочной передачи 4, вращательное движение передается к веретену 5. Для контроля частоты вращения веретена, на установке, применяется датчики 9, с сектором имитации импульсов 10 контроль которой осуществлялся при помощи частотомера Ф3433. Для регистрации амплитуды колебаний  веретен, на стойке 6 установлены  тензометрические  чувствительные элементы перемещения по двум координатам Х и У.

На рис.4. приведена электрическая схема измерения  вибрации веретен при рабочих режимах веретен, где сигнал, получаемый с тензодатчиков, усиливается усилителем УТ4-1 и визуально контролируется на экране осциллографа И-6, на экране которого, по заранее тарированной шкале, определяется  величина амплитуды колебаний.

Рисунок 3. обшей вид и схема экспериментальной установки для исследования веретен

Рисунок 4. Электрическая схема измерения вибрации прядильных веретен разных типов

Рисунок 5. Обшей вид лазерной головки для измерения амплитуды колебаний кончика веретена

Экспериментальные исследования проводились для двух вариантов веретен прядильных машин ВНТ-28 и ВН-32 в рабочих скоростях и на крайних режимах работы веретен. Во время эксперимента были проведены исследования  вибрации веретен с насадками и без них.

Анализ полученных результатов

Эксперименты проводились с повторность до 8 раз каждый, для точности полученные результаты били, обработаны методом статистики.

На рис.6 приведены графические зависимости изменения амплитуды колебаний веретен от частоты вращения для двух типов.

Рисунок 6. Графики зависимости амплитуды колебаний веретена от частоты вращения веретен

Кривая 1 для веретен, работающих без патрона.

Кривая 2 для веретен с насадками (патроном).

Из анализа полученных результатов видно, что при свободном вращении веретен, амплитуда колебаний мс кривая 1, имеет наименьшее значение и при частотах 6000об/мин  веретена  А= 0,5 мм для веретен ВНТ -28 и для веретен, ВН-32  А=0,2  мм. Эти зоны повышения амплитуды колебаний находятся ниже рабочих скоростей и  при переходе веретена подвергаются небольшим нагрузкам. Для сравнения влияния  наличия патрона на  величину амплитуды колебаний нами производились  исследования  при наличии патрона на поверхности веретена. На рис 6 приведены зависимости изменения амплитуды колебаний с патронами  кривая 2 , где видно, что значения амплитуды колебаний в три раз превышают по сравнению с безпатронным вариантом. Видимо это связано с методом посадки патронов на шпиндель. Приведенные данные показывают, что реакции в опорах веретен существенно зависят от качества применяемых в производстве патронов. Аналогичную картину имеют амплитуды колебаний веретен, которые также зависят от степени неуравновешенности паковок.

Выводы.

1.Предложена методика расчета критических скоростей веретен прядильных машин.

2.Разработана методика расчета высших частот критических скоростей и колебания шпинделя.

Список литературы:
1. Коритысский Я.И., Фрид И.А. Исследование динамики веретен прядильно-крутильных машин в нестационарном режиме. Изв. вузов. Технология текстильной цромышленности, 1985, Jfc 3, с.116 -120; 1975, В 4, с.115 - 117.
2. Коритысский Я.И. Динамика упругих систем текстильных машин. М., Легкая и пищевая промышленность, 1982, 272 с.